Радиотехника
Тема: ЧМ (FM) — девиация, спектр и полоса Карсона

Частотная модуляция: анализ параметров и оценка спектра

Рассматривается однотональная частотная модуляция, вводятся девиация частоты и индекс модуляции, приводится оценка ширины полосы по правилу Карсона и обсуждается распределение мощности по спектральным линиям.

Исходные параметры сигнала

Раздел 1
Параметр Обозначение Значение Ед.
Амплитуда несущей Ac 1.0 В
Частота несущей fc 100 кГц
Частота модуляции fm 2 кГц
Девиация частоты Δf 5 кГц
Индекс частотной модуляции β = Δf / fm определяет число существенных боковых линий в спектре.

Математическая модель FM

Раздел 2

Временная форма

При синусоидальном сообщении x(t)=cos(2πfmt) частотно-модулированный сигнал:

u(t) = A_c cos( 2π f_c t + β sin(2π f_m t) ) β = Δf / f_m

Спектр через функции Бесселя

Спектр FM состоит из несущей и бесконечного набора боковых линий на частотах fc±n fm. Амплитуды задаются функциями Бесселя Jn(β).

u(t) = A_c Σ_{n=-∞..∞} J_n(β) cos(2π (f_c + n f_m) t)
При увеличении β энергия распределяется по большему числу спектральных линий. Несущая может существенно ослабевать, так как её амплитуда пропорциональна J0(β).

Расчёт полосы по правилу Карсона

Раздел 3

Для практической оценки требуемой полосы частот используется правило Карсона:

B ≈ 2 (Δf + f_m)

Подстановка параметров:

Δf = 5 кГц f_m = 2 кГц B ≈ 2 (5 + 2) кГц = 14 кГц β = Δf / f_m = 2.5
При β=2.5 значимыми обычно считают линии примерно до n≈β+1, что соответствует нескольким парам боковых составляющих.
Генератор несущей f_c Источник сообщения f_m ЧМ-модулятор Δf, β FM сигнал u(t) cos(2π f_c t) cos(2π f_m t)
Рисунок: структурная схема формирования FM

Выводы

Раздел 4

Итоговые величины

  • Индекс модуляции: β = 2.5
  • Оценка полосы по Карсону: B ≈ 14 кГц
  • Спектральные линии: fc ± n fm, n = 0, 1, 2, …

Интерпретация

Увеличение Δf расширяет спектр и повышает помехоустойчивость по амплитуде, но требует большей полосы канала. Правило Карсона даёт практичную оценку, охватывающую большую часть мощности сигнала.

Список источников

Раздел 5
  1. Учебные материалы по теории сигналов и модуляции.
  2. Разделы радиотехнических цепей: спектральный анализ.
  3. Справочные сведения по функциям Бесселя и FM спектрам.